Eclipse: el poder de las matemáticas para describir el universo

La predicción de un eclipse es mucho más que un fenómeno visual: es la demostración del poder de las matemáticas para describir el universo. La combinación de disciplinas como la trigonometría, la mecánica celeste y la geometría hace posible conocer con extraordinaria precisión cuándo, dónde y durante cuánto tiempo se producirá un eclipse, convirtiendo un espectáculo natural en una de las predicciones más exactas de toda la astronomía.

La trigonometría mide los tamaños aparentes y las posiciones de los astros; las leyes de la mecánica celeste permiten calcular sus movimientos bajo la acción de la gravedad; y, finalmente, la geometría explica la formación de las sombras y su recorrido sobre la superficie terrestre.

Cuándo se produce un eclipse

La primera condición geométrica necesaria para que se produzca un eclipse solar o lunar es que tres astros estén alineados: el Sol, la Luna y la Tierra. Por las distancias y movimientos de cada uno de ellos, nuestra estrella siempre está en un extremo. Si se ubicara en el centro, no estaríamos aquí para contarlo.

Así pues, solo quedan dos posibilidades: que la Tierra esté en el otro extremo y la Luna en medio (eclipse de Sol) o la Tierra en medio y la Luna en el otro extremo (eclipse de Luna). Esto añade la primera condición de temporalidad: en los eclipses de Sol, la Luna debe estar necesariamente en la fase de luna nueva, es decir, el momento en que no la vemos, y en los eclipses de Luna, en la fase de luna llena.

Por sencillez en la explicación y por espectacularidad del resultado, nos centraremos en este texto solamente en los eclipses solares, simplificando algunos aspectos técnicos.

La casualidad cósmica y los diámetros aparentes

Para que ocurra un eclipse total de Sol se necesita una segunda condición geométrica: que los diámetros aparentes de ambos astros sean iguales. Este diámetro se calcula como el cociente entre el diámetro real del astro y su distancia al observador; el resultado es un ángulo expresado en radianes. Curiosamente, al hacer la operación para el Sol y la Luna, el valor en radianes resulta prácticamente idéntico, una coincidencia que hace posible el fenómeno. Si la Luna está más lejos de la Tierra, su diámetro aparente se reduce y el eclipse deja de ser total para convertirse en anular.

El movimiento: Kepler, Newton y las órbitas

El problema se complica cuando dejamos de lado la estática y consideramos que los tres astros se mueven. Sus posiciones obedecen a las leyes del movimiento planetario: las tres leyes de Kepler, formuladas en 1609, describen las órbitas elípticas, mientras que la ley de gravitación universal de Newton (1687), F=G mM/r2, da cuenta del origen físico de esos desplazamientos. Al igualar esta fuerza F con la segunda ley de Newton, F=ma, y teniendo en cuenta que la aceleración (a) es la derivada segunda de la posición (r), se llega a un sistema de ecuaciones cuya solución traza la trayectoria del cuerpo m (la Tierra) alrededor del cuerpo M (el Sol).

Como ya lo advirtió Kepler en su primera ley, la órbita de los planetas es una elipse con el Sol en uno de sus focos. La G de la ecuación es la constante de gravitación universal que Newton formuló. Resulta fascinante la precisión con la que ambas teorías encajan y cómo las matemáticas actúan como el puente que las conecta.

El plano de la elíptica es la superficie imaginaria que contiene la órbita terrestre alrededor del Sol. Si se compara con el plano de la órbita lunar, se aprecia que están inclinados entre sí unos 5° aproximadamente. Esa inclinación hace que la órbita de la Luna cruce el plano de la elíptica en dos puntos concretos, conocidos como nodos.

La tercera condición para que se produzca un eclipse es doble: la Luna debe estar en fase de luna nueva y, además, esa fase debe ocurrir justo en uno de los nodos, los puntos donde la órbita lunar cruza el plano de la eclíptica. Solo entonces Sol, Luna y Tierra quedan perfectamente alineados y se produce la ocultación del Sol por la Luna, un fenómeno que la NASA ha recreado en un vídeo. Esta inclinación orbital es precisamente la que impide que tengamos eclipses todos los meses, ya que la Luna en sus fases de luna nueva o llena está a veces por encima o por debajo del plano de la eclíptica.

Todas estas condiciones tan precisas se pueden determinar con matemáticas. Gracias a ellas se puede calcular que cada año se producen entre 2 y 5 eclipses de Sol en algún lugar de la Tierra, ya sean totales, anulares o parciales. Pero aún hay más: la sombra de la Luna no permanece fija. Mientras orbita alrededor de la Tierra, gira sobre sí misma y el cono de sombra barre una estrecha banda sobre la superficie terrestre. Para calcular esa trayectoria se emplean coordenadas y trigonometría esféricas, matrices y transformaciones de sistemas de referencia.

El resultado es un mapa preciso que muestra dónde comienza el eclipse, por dónde pasa la totalidad, dónde termina y la hora exacta en cada lugar. Solo por curiosidad señalaremos que la velocidad media de la sombra es alrededor de 2 000 km/h. Algunos eclipses duran apenas unos segundos, mientras que los más largos pueden superar los 7 minutos. Recientemente, se ha estimado que un eclipse solar total ocurre, en promedio, una vez cada 373 ± 7 años en un punto cualquiera de la Tierra.

Las ecuaciones que rigen la maquinaria celestial del Sol, Tierra y Luna tienen además una extraordinaria periodicidad, conocida como el ciclo de Saros. Después de 18 años, 11 días y 8 horas, los tres astros vuelven a ocupar prácticamente la misma situación. Esta periodicidad ya era conocida por los antiguos astrónomos babilónicos (siglos VI-IV a. e. c.) debido a sus exactos registros de efemérides astronómicas, en particular de eclipses, y podían anticipar su repetición. La diferencia de unas 8 horas implica que la Tierra ha girado aproximadamente 120° de longitud, de modo que el siguiente eclipse de la serie se observa desde otra región del planeta.

Las matemáticas se revelan como el lenguaje invisible con el que las estrellas y los planetas coreografían su danza, y detrás de la belleza de un eclipse se esconden siglos de observación, ingenio y conocimiento matemático. También están la ilusión y el asombro propios de quien levanta la vista al cielo para contemplar uno de los fenómenos más extraordinarios que puede ofrecernos la naturaleza.

Este artículo fue publicado originalmente en The Conversation, y su autor es Pedro José Miana Sanz, catedrático de Matemáticas, Análisis Matemático, de la Universidad de Zaragoza. Puede leer el original en ese medio.

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